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發(fā)展電動汽車作為應對能源危機與環(huán)境污染的有效途徑，是世界各國實現(xiàn)節(jié)能減排戰(zhàn)略的關鍵。以電力電子裝置為核心的功率控制單元（Power Control Unit, PCU）是電動汽車能源轉換的關鍵設備，也是打造電動汽車新興產(chǎn)業(yè)鏈的重要環(huán)節(jié)，其綠色與高效的特征是交通電氣化的必要保障。

電動汽車運行環(huán)境多變、工況復雜的應用特點，使其難以滿足高安全、高性能與長壽命的突出需求。一方面，為保證較高的安全等級，PCU從子部件到集成系統(tǒng)均需具備高可靠性；另一方面，多變的運行環(huán)境令極限工況下高性能的穩(wěn)定保持變得困難，壽命評估受到多物理系統(tǒng)耦合影響的難度增加。

為保證高安全與高性能，PCU的設計遵循電動汽車標準的V型開發(fā)流程，通過系統(tǒng)設計、解耦開發(fā)、集成驗證的方式，保證設計的全功能覆蓋以使性能優(yōu)異可靠，但同時導致設計驗證的環(huán)節(jié)增多，功能范圍覆蓋面擴大，造成設計驗證的周期變長，效率低下。因此，PCU的設計驗證面臨著由功能范圍的高覆蓋率和驗證環(huán)節(jié)的高效率帶來的雙重挑戰(zhàn)。

數(shù)字化設計由于其靈活高效且低成本的優(yōu)勢，是解決PCU設計驗證高覆蓋率與高效率等挑戰(zhàn)的有效方式。數(shù)字化設計在過去成功地加速了信息電子、機械制造等行業(yè)的產(chǎn)業(yè)升級，但在定制化程度高、功率等級高的電力電子領域，其應用范圍仍有限。

隨著電動汽車市場體量的不斷增長，PCU的設計朝著功率電子設計自動化（Power Electronic Design Automation, PEDA）的方向發(fā)展，數(shù)字化設計有望成為PCU設計開發(fā)的新趨勢。數(shù)字化設計以數(shù)字平臺為基礎、數(shù)學建模為手段、數(shù)值算法為核心，如圖1所示。數(shù)字平臺集成了一定的計算資源，為數(shù)值運算提供了計算環(huán)境，通過數(shù)學建模將實際物理對象抽象成數(shù)學模型，并由數(shù)值算法進行模型的計算和更新，進而得到目標系統(tǒng)的模擬運行結果。

圖1 數(shù)字化設計流程關系圖

目前，國內(nèi)外學術界與工業(yè)界圍繞保真度、速度與復雜度等核心指標，在數(shù)字化設計上開展了研究工作，并積累了豐富的工程經(jīng)驗。其中速度體現(xiàn)為實時性、計算量兩方面；保真度包含穩(wěn)定性、收斂性和精度三方面；復雜度包含資源占用、可擴展性等方面。然而各數(shù)字化方法的結構形式、優(yōu)化目標與技術路線等特征不盡相同，缺乏系統(tǒng)性的梳理。特別是軟件層面迭代更新快、隱藏風險深，是PCU設計驗證的難點。

近年來，國際上技術制裁與封鎖等事故頻發(fā)，尤其軟件數(shù)字化設計首當其沖，相關技術核心多由國外掌握，我國在工業(yè)軟件的研發(fā)設計方面存在明顯差距，系統(tǒng)建立起相關的技術積累成為當務之急。因此，本文從電動汽車PCU軟件設計驗證高覆蓋率、高效率的挑戰(zhàn)出發(fā)，從數(shù)字平臺、數(shù)學建模、數(shù)值算法三方面系統(tǒng)梳理其最新研究進展，并在此基礎上展望PEDA的發(fā)展方向。

1 數(shù)字平臺

典型的純電動汽車驅(qū)動系統(tǒng)結構如圖2所示，包含整車控制器、電池單元、功率控制單元、電機、傳動系統(tǒng)及整車等部分。從控制的角度出發(fā)，實際的系統(tǒng)可分為控制系統(tǒng)和被控對象兩部分?？刂葡到y(tǒng)包含軟件層面的整車控制算法和電驅(qū)控制算法等；被控對象包含硬件層面的功率電路和機械單元等。

圖2 電動汽車典型電驅(qū)動系統(tǒng)拓撲結構

為滿足高安全與高性能，PCU的設計遵循電動汽車標準的快速應用開發(fā)流程，即V型開發(fā)流程，功率控制單元PCU的V型開發(fā)流程如圖3所示。

圖3 功率控制單元PCU的V型開發(fā)流程

V型的左半邊為設計階段，右半邊為驗證階段。整個過程在設計階段解耦成系統(tǒng)-硬件-軟件三個層面進行分層開發(fā)，在驗證階段再將其集成耦合至系統(tǒng)驗證。呈現(xiàn)多層“耦合—解耦—耦合”的特點。相比系統(tǒng)和硬件層面，軟件層面的設計驗證更新迅速且迭代頻繁，是PCU設計驗證的難點。

數(shù)字化平臺由于其靈活高效的特征，在PCU軟件設計V型圖中的不同階段，根據(jù)軟件開發(fā)的技術成熟度，可以配置為：模型在環(huán)（Model in the Loop, MIL）、快速原型機（Rapid Control Prototype, RCP）、軟件在環(huán)（Software in the Loop, SIL）、處理器在環(huán)（Processor in the Loop, PIL）與硬件在環(huán)（Hardware in the Loop, HIL）等幾種結構模式，以分別滿足V型研發(fā)不同節(jié)點的設計驗證需求。

1.1 模型在環(huán)（MIL）

MIL的控制系統(tǒng)和被控對象均搭建在商用軟件的環(huán)境中，如Simulink、PLECS等，電驅(qū)動系統(tǒng)模型在環(huán)結構如圖4所示。MIL適用于軟件開發(fā)早期算法階段的設計驗證，通過在商用軟件環(huán)境中添加組合已集成完畢的庫模型以完成控制策略、動穩(wěn)態(tài)分析和參數(shù)匹配等功能的設計。MIL使用便捷，驗證周期短，且后處理功能豐富，可以靈活地選取合適的模型求解方式，以獲得精度高或速度快的數(shù)字化系統(tǒng)，是一種全數(shù)字化的數(shù)字平臺。

目前MIL在學術界和工業(yè)界運用廣泛，其形式已演變多樣，如基于腳本的ScanTool，是PCU在設計初期關于硬件選型、效率分析、熱評估等問題有力的分析工具。但由于MIL以算法設計為目標，因此在軟件的實現(xiàn)方式、硬件的運行環(huán)境等方面與真實物理系統(tǒng)相差較大，具有一定的局限性。

圖4 電驅(qū)動系統(tǒng)模型在環(huán)結構

1.2 快速原型機（RCP）

RCP由成熟的硬件在環(huán)技術衍生而來，其結構與信號硬件在環(huán)互補，電驅(qū)動系統(tǒng)快速原型機結構如圖5所示。RCP的控制系統(tǒng)由硬件性能強大的實時仿真器自動快速地搭建完成，而被控對象則為真實的物理對象。RCP的設計驗證范圍與MIL類似，適用于早期的算法設計驗證，特別是算法開發(fā)落后于實驗環(huán)境搭建的場合。在虛擬的實時計算環(huán)境中設計算法，有助于快速迭代，加速軟件設計過程。但同時，RCP面對新的設計需求性價比過低。因此，通常在復雜的物理系統(tǒng)中，將RCP與信號HIL配合使用，實現(xiàn)全數(shù)字化設計，是減少昂貴且破壞性設計驗證的有效手段。

圖5 電驅(qū)動系統(tǒng)快速原型機結構

1.3 軟件在環(huán)（SIL）

SIL的控制系統(tǒng)與被控對象也均搭建在商用軟件之中，電驅(qū)動系統(tǒng)軟件在環(huán)結構如圖6所示，但SIL的控制系統(tǒng)由真實的程序代碼實現(xiàn)，如PLECS中的C Script[17]與PSIM中的DLL[18]等提供了程序代碼與商用軟件的接口。SIL適用于軟件開發(fā)程序代碼階段的設計驗證，如程序邏輯、編程規(guī)范等。

但同時，由于SIL使用的仍是非目標控制器的計算內(nèi)核，根據(jù)汽車開放系統(tǒng)架構（Automotive Open System Architecture, AUTOSAR）定義的標準，SIL僅僅適合于控制系統(tǒng)中應用層軟件（Application Software, ASW）的程序代碼驗證，而基礎層軟件（Basic Software, BSW）的程序代碼，如寄存器配置、內(nèi)存分配、時序配合及程序的運行時間與溢出狀況等無法驗證，如圖7所示。

圖6 電驅(qū)動系統(tǒng)軟件在環(huán)結構

圖7 軟件在環(huán)應用案例

目前，基于模型的設計（Model Based Design, MBD）方式盛行于工業(yè)界，其免去了代碼的編程過程，MIL中控制系統(tǒng)部分的模型可以直接生成程序代碼，等價為SIL，使開發(fā)過程更加自動化。

1.4 處理器在環(huán)（PIL）

PIL的控制系統(tǒng)與目標控制器保持一致，而被控對象是虛擬的，其可以搭建在商用軟件中或?qū)嶋H控制器中。根據(jù)搭建環(huán)境的不同，PIL的結構分多種。圖8a結構的PIL將程序代碼的范圍擴大到了BSW，能夠部分模擬底層的配置程序，如PLECS中的PIL模塊等，因此能極大程度地逼近真實的程序代碼；同時，控制系統(tǒng)也能脫離離線的運行環(huán)境，如圖8b所示，將范圍擴大到硬件控制器，而被控對象可以虛擬在商用軟件中，二者通過通信接口進行數(shù)據(jù)交互，也可以隨控制系統(tǒng)一起搭建在硬件控制器中，如圖8c所示，實現(xiàn)模型自閉環(huán)的內(nèi)部仿真。

PIL適用于硬件控制器階段的設計驗證，其關鍵在于處理器的內(nèi)容是真實的。圖8a模式的PIL沒有完全擺脫SIL的缺陷；圖8b結構的PIL仍在CPU環(huán)境下計算，速度較慢；圖8c結構的PIL能實現(xiàn)數(shù)字平臺的實時化，其運行速度更快，驗證范圍更廣，是PCU軟件數(shù)字化設計的新形式。

圖8 電驅(qū)動系統(tǒng)處理器在環(huán)結構

此外，圖8c結構的PIL能實現(xiàn)兩大功能：脫離測試環(huán)境的單板仿真與結合實時控制的在線仿真。對于單板仿真，控制系統(tǒng)與被控對象在硬件控制器內(nèi)形成在環(huán)仿真，能夠擺脫對測試環(huán)境的依賴，對于現(xiàn)場應用和測試工具緊缺的環(huán)境具有獨特的優(yōu)勢；對于在線仿真，控制系統(tǒng)一方面控制真實的被控對象，另一方面運行在環(huán)的虛擬被控對象，虛擬的物理對象相對真實的物理對象形成數(shù)字孿生（Digital Twins, DT）。

虛擬孿生體根據(jù)實際物理對象的采樣，實時校正在環(huán)仿真結果并更新孿生體的數(shù)學模型，其能超越物理傳感器的限制，獲取系統(tǒng)的中間物理狀態(tài)，形成多源傳感系統(tǒng)，優(yōu)化控制器，以實現(xiàn)對系統(tǒng)的全局監(jiān)控、狀態(tài)預測和健康管理。

PIL由于其功能范圍與其他結構的數(shù)字平臺重疊，因此常被學術界與工業(yè)界忽視。但對于MBD的開發(fā)模式，由于核心代碼自動生成，因此PIL對于程序代碼的等效性及代碼生成工具的正確性驗證具有獨特且重要的意義。另外，PIL對控制系統(tǒng)的貢獻是數(shù)字化設計的新模式。但有限的計算資源與模型的保真度之間的矛盾，是其主要的挑戰(zhàn)。

1.5 硬件在環(huán)（HIL）

根據(jù)運行的功率等級，HIL分為信號硬件在環(huán)（Signal-HIL, S-HIL）與功率硬件在環(huán)（Power-HIL, P-HIL）。電驅(qū)動系統(tǒng)S-HIL的結構如圖9所示，控制系統(tǒng)搭建在實際控制器中，被控對象搭建在實時仿真器中。

圖9 電驅(qū)動系統(tǒng)信號硬件在環(huán)結構

S-HIL的驗證范圍同樣包含硬件控制器，但與PIL不同，S-HIL的被控對象虛擬在實時仿真器里，如圖10a所示。與其他離線的數(shù)字平臺相比，S-HIL能夠?qū)崿F(xiàn)實時的數(shù)字化設計，因此對運算速度的約束要求更高。實時仿真器通常包含性能強大的計算內(nèi)核，能夠?qū)崿F(xiàn)步長1μs以下的定步長實時計算，適合電力電子電路小時間尺度的數(shù)字化設計，如RT-LAB，dSPACE等。S-HIL在保真度、速度等方面均有強大的表現(xiàn)，是PCU數(shù)字化設計中最受關注的數(shù)字平臺。但S-HIL通常需要定制化配置硬件資源和軟件服務，導致其造價昂貴。

圖10 硬件在環(huán)應用案例

P-HIL在硬件控制器的基礎上，將驗證范圍擴大到功率級，其控制系統(tǒng)搭建在功率控制器中，被控對象搭建在同功率等級的功率放大電路中，而非實時仿真器里，電驅(qū)動系統(tǒng)P-HIL結構如圖11所示。功率放大電路采用靈活與高效的電力電子拓撲，可以是PCU，如圖10b所示，也可以是其他裝置，如MMC等。P-HIL能完成PCU軟件及部分軟硬件集成的設計驗證，是良好的動力臺架替代方案。

AVL與Scienlab開發(fā)的工業(yè)級P-HIL，分別采用了多電平拓撲和共交流母線的功率循環(huán)結構作為功率放大電路，支持大功率高頻電驅(qū)動系統(tǒng)的集成驗證。與動力臺架相比，其負載更加靈活，能夠完成各種故障工況的測試，且更安全。由于P-HIL相當于在虛擬的數(shù)字側與實際的物理側增加了功放電路和傳感電路，極大地引入不穩(wěn)定源，受制于功率拓撲的結構和算法設計，P-HIL的高保真度模型和有限的運行邊界，是其主要的設計挑戰(zhàn)。

圖11 電驅(qū)動系統(tǒng)功率硬件在環(huán)結構

針對PCU的數(shù)字平臺綜合比較見表1。數(shù)字平臺由于在功能范圍、保真度、速度、復雜度上的折中，導致單一的結構無法覆蓋整個研發(fā)周期的所有設計驗證需求，但基于數(shù)字化技術靈活的特點，能夠?qū)⒍喾N數(shù)字平臺構建成數(shù)字工具鏈，以擴大PCU軟件的設計驗證范圍，提高全研發(fā)周期的設計驗證覆蓋率，滿足圖3中V型設計軟件開發(fā)各階段的不同設計驗證需求。

表1 數(shù)字平臺的綜合比較

隨著多核處理器CPU、并行計算的GPU、FPGA與集成不同計算單元的片上系統(tǒng)（System on Chip, SOC），以及計算機集群在數(shù)字平臺中不斷被應用，數(shù)字平臺的硬件技術朝著并行化、分布式的方向發(fā)展，極大地提升了數(shù)字平臺的計算性能。PCU的數(shù)字化設計會朝著基于模型的開發(fā)理念，即V型的上層基于模型化，下層操作系統(tǒng)化。設計者僅需在頂層思考面向應用的設計，底層通過數(shù)字工具鏈完成自動化的設計驗證。

但目前，各階段之間的數(shù)字平臺大多彼此獨立，銜接度不高，缺少整體的調(diào)度核心，導致上層的設計執(zhí)行至下層可能并非全局最優(yōu)，需要重新迭代，存在一定的局限性，數(shù)字化的計算資源沒有被充分利用。因此設計面向全局優(yōu)化的中控調(diào)度系統(tǒng)，綜合統(tǒng)籌數(shù)字平臺的一體化最優(yōu)設計是未來的發(fā)展方向。

2 數(shù)學建模

數(shù)學層面的建模將實際的物理對象抽象成節(jié)點矩陣和數(shù)學方程，是數(shù)字化設計的關鍵手段，典型的建模方法可分為時域和頻域兩類。電動汽車電驅(qū)動系統(tǒng)數(shù)學模型的性能取決于其關鍵子部件的建模，而功率變換器與電機是電驅(qū)動系統(tǒng)的核心，其建模方法最為關鍵。

2.1 基于時域的建模方法

功率變換器的開關切換特征導致其參數(shù)矩陣的維數(shù)隨開關數(shù)的增加呈指數(shù)增長，是影響計算速度和保真度的關鍵。典型的開關建模方法按時間尺度分為電路級的二值阻抗法、恒值導納法和開關平均法等；器件級的非線性建模法、分段線性瞬態(tài)建模法、曲線擬合法以及準瞬態(tài)法等。其中，器件級的建模方法描述非理想開關特性，適用于納秒尺度的計算，但計算規(guī)模有限，本文不細作評述。

二值阻抗法用小阻抗和大阻抗分別等效開通和關斷狀態(tài)?？紤]非理想度，大小阻抗的形式可以有區(qū)別：理想開關法開通阻抗為零，關斷阻抗無窮大，受限于保真度，衍生出圖12的開關電阻法，其開通時等效為小電阻Ron、小電感Lon和電壓源Vf，并聯(lián)大電阻Rs和大電容Cs；關斷時等效為電阻Rs串聯(lián)電容Cs。

開關電阻法能提高開關動態(tài)的準確性，但不能避免開關切換引入的參數(shù)矩陣頻繁變化的問題。因此為提升計算速度，常預先緩存遍歷生成的參數(shù)矩陣，以避免過度的計算量，但也存在開關數(shù)量增長引起的緩存容量的風險。對此，模塊化開關電阻法在系統(tǒng)中對狀態(tài)量不會突變的電感電流或電容電壓進行模型分割，以此為矩陣降階。

圖12 二值阻抗法

為避免開關切換引入的參數(shù)切換，恒值導納法提出用受控電流源并聯(lián)電導Gs的形式等效開關行為，也稱電流源等效法或L/C法，恒值導納法如圖13所示，其開通時等效為歷史電流源并聯(lián)電感L；關斷時等效為歷史電流源并聯(lián)電容C，但在數(shù)學上不改變電導Gs的形式。通過選取合適的Gs值使得開關切換時L與C的值相等，以此避免參數(shù)矩陣的變化，優(yōu)化計算速度。

恒值導納法通用性好，計算量固定，但參數(shù)Gs選擇不當會引入建模誤差甚至導致數(shù)值穩(wěn)定問題，特別是在開關頻率較高的碳化硅PCU中，電感電容存儲的能量隨開關切換被清零，導致偏差加大。傳統(tǒng)方法將此類誤差遷移等效為開關損耗，但高頻下開關損耗不規(guī)律增加，需要通過設計合適的數(shù)值求解算法，以削弱參數(shù)選擇不當帶來的影響。

圖13 恒值導納法

為了保證一定的動態(tài)精度，二值阻抗法與恒值導納法對速度的提升有限，且增加了建模復雜度。基于此，開關函數(shù)法將開關建模成與開關函數(shù)相關的受控電壓電流源，在獲得與理想開關同等精度的同時，簡化計算以提升速度。

在此基礎上，開關平均法進一步忽略開關動態(tài)過程，利用一段PWM周期，通過周期平均等效詳細模型的平均動態(tài)過程，以減小開關事件處理過程所帶來的巨大計算量，大大提升計算速度。開關平均法建模簡單、速度快，但計算步長較大、精度有限，且需要預先知道電路拓撲，不適用任意拓撲的建模，但對于電機驅(qū)動等拓撲固定的應用，是提升運算速度的有效方法。開關模型的時域建模方法綜合對比見表2。

表2 開關模型的時域建模方法對比

電機作為電驅(qū)動系統(tǒng)另一大關鍵部件，電動汽車中廣泛采用體積小、效率高的永磁同步電機，其典型的方法可分為集總參數(shù)法和物理數(shù)據(jù)法兩類。集總參數(shù)法根據(jù)定轉子的建立形式可分為相域法（Phase-Domain, PD）或變電感反電動勢法（Voltage Behind Reactance, VBR）、交直軸法（Direct Quadrature, DQ）、理想旋轉變壓器法（Ideal Rotating Transformer, IRTF）等；物理數(shù)據(jù)法根據(jù)數(shù)據(jù)的獲取來源可分為有限元法（Finite Element Method, FEM）、磁路等效法（Magnetic Equivalent Circuit, MEC）和實驗數(shù)據(jù)標定法等。

基于集總參數(shù)的PD法將電機的定、轉子變量均建立在靜止側，是電機初始的模型。VBR在PD法的基礎上，將電機等效成可變電感連接反電動勢，因此能與外部任意電路直連，如開路或整流橋等，避免了數(shù)值無法迭代的問題，但由于相間電感耦合，模型的復雜度大幅提高。DQ法將電機的定轉子變量通過Park變換至旋轉側，能夠?qū)⒔蛔兊臓顟B(tài)量轉變成恒定，以此簡化模型，是廣泛采用的方法，但DQ法在外部接口處，于大步長下存在數(shù)值穩(wěn)定問題，且在開路情況下無法配合任意電路的計算。

IRTF法分別將定子變量建立在靜止側，轉子變量建立在旋轉側，通過磁鏈實現(xiàn)動靜的分割，永磁同步機的IRTF模型如圖14所示，在簡化建模的同時，保證數(shù)值穩(wěn)定?？傊?，集總參數(shù)法建模直接、速度快，但通常參數(shù)不可靠，無法反映電感飽和、交叉耦合、空間磁動勢諧波等現(xiàn)象，具有一定的局限性，需在模型局部進行二次優(yōu)化。

圖14 永磁同步機的IRTF模型

物理數(shù)據(jù)法通過查表的方式，將負載電機非線性、強耦合的特征反映至數(shù)字系統(tǒng)中，以此減小參數(shù)不準確的影響。有限元法和磁路等效法考慮多場交互，將電機模型劃分為有限個互聯(lián)的微單元，通過離線求解每個微單元的偏微分方程，獲取多物理場的近似解數(shù)據(jù)，永磁同步機磁路等效法示意如圖15所示，提升保真度的同時求解速度過慢，適用于離線的預計算。

實驗數(shù)據(jù)標定法直接通過動力臺架實驗，針對影響模型與參數(shù)的關鍵物理量建立映射表格，因此能夠還原永磁同步電機電感飽和、交叉耦合、齒槽空間諧波等非線性問題?？傊锢頂?shù)據(jù)模型數(shù)值精度更高，但核心的數(shù)據(jù)獲取較為繁瑣，對于高度耦合的電機模型，會造成表格維數(shù)的增加，大大增加資源占用。

圖15 永磁同步機磁路等效法示意圖

2.2 基于頻域的建模方法

時域方法建模精度高，但速度提升有限?；陬l域的建模方法通過將時域信號轉換至頻域，物理對象建立成頻域方程，二者相互作用獲得頻域的響應，再逆變換至時域。典型的頻域建模方法包含動態(tài)相量（Dynamic Phasor, DP）法及移頻分析（Shifted Frequency Analysis, SFA）法。

動態(tài)相量法通過對時變信號的傅里葉分解，保留幅值較大的主要分量，忽略次要分量，根據(jù)需要有目的地選擇主導頻率分量的系數(shù)，構造一組平均值信號的微分方程來等效開關暫態(tài)過程，動態(tài)相量法示意如圖16所示。動態(tài)相量法可以根據(jù)需要的精度近似時域模型，能夠在保證精度的前提下，將時變的信號轉化為非時變的信號，支持電力電子電路的低頻暫態(tài)還原，因此可以加大計算步長以提升計算速度。但由于諧波截斷誤差的存在，當系統(tǒng)中諧波成分較多且比例較大時，模型精度將是一大挑戰(zhàn)。

圖16 動態(tài)相量法示意圖

SFA將系統(tǒng)中的工頻量等效為以工頻正弦波為載波調(diào)制后的帶通信號，進而通過希爾伯特變換，將傳統(tǒng)時域信號無損變換為只含單邊頻譜的復數(shù)解析信號。對解析信號的頻譜向左平移一個固定頻率，使原本按正弦周期變化的交流信號轉為緩慢變化的解析包絡信號，如圖17所示。

由于解析包絡中的最大頻率小于原始真實信號，因此可選擇更大的步長加快計算速度，從而實現(xiàn)高效的低頻暫態(tài)計算。類似地，SFA只適用于以工頻為主導頻率、系統(tǒng)變工頻或含有高次諧波時，模型精度仍是一大挑戰(zhàn)。

圖17 移頻分析法示意圖

圍繞時域與頻域建模方法的對比如圖18所示，其中時域的方法建模精度高，對于非理想特性的模擬具有一定的自由度，但常受到模型速度和復雜度的限制；頻域的方法對于穩(wěn)態(tài)分量求解迅速，對于暫態(tài)分量通過加大步長提升計算速度，效果明顯，但對于實時系統(tǒng)嚴格的時間約束，頻繁的時頻變換不適用于實時的數(shù)字平臺。同時，基于頻域的變換需保證時域系統(tǒng)為線性非時變系統(tǒng)，因此針對電力電子開關和電機的參數(shù)飽和等非線性時變特征需要特殊的優(yōu)化。

現(xiàn)有方法在精度和速度方面做了相關的優(yōu)化，但二者之間的矛盾沒有從根本上解決。隨著電動汽車中碳化硅等高頻器件的應用，加之實時的數(shù)字平臺對計算速度的嚴格約束，計算速度與精度的矛盾將進一步突顯。符合數(shù)字平臺并行化、分布式特征的快速建模方法，特別是對頻率最為敏感的開關元件，其建模方法亟待進一步研究。

圖18 時域與頻域建模方法對比

3 數(shù)值算法

數(shù)值算法在數(shù)學模型的基礎上，從數(shù)值計算的角度求解運行結果和優(yōu)化系統(tǒng)性能，是數(shù)字化設計的核心。數(shù)值算法解算的關鍵在于算法結構、步長算法、數(shù)值求解三個方面。算法結構將系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)的數(shù)學模型組成通用的求解架構，由步長算法此架構上定義循環(huán)計算的方式，最后通過數(shù)值求解方法在定義好的方式下進行離散的迭代計算。

3.1 算法結構

算法結構是數(shù)值算法的基礎，即以合理的架構將數(shù)學模型組織成適合數(shù)值求解的通用流程。典型的是以Simulink軟件中Sim Power Systems為代表的狀態(tài)變量法和以電磁暫態(tài)類軟件EMTP為代表的節(jié)點分析法，算法結構原理圖如圖19所示。

圖19 算法結構原理圖

狀態(tài)變量法根據(jù)不發(fā)生突變的狀態(tài)變量建立方程，然后通過數(shù)值積分迭代求解狀態(tài)變量，狀態(tài)變量法結構示意如圖20所示。因此對存在非線性元件、時變的系統(tǒng)容易建立狀態(tài)方程，且數(shù)值積分方法選擇靈活，可對不同類型的系統(tǒng)進行針對性求解，但對于大規(guī)模系統(tǒng)，其狀態(tài)方程形成困難，且會丟失電路原本的稀疏性，導致計算速度慢，因此面對狀態(tài)變量多、復雜度高的系統(tǒng)，求解難度大、擴展性差。

圖20 狀態(tài)變量法結構示意圖

節(jié)點分析法首先將狀態(tài)元件通過數(shù)值積分法離散成歷史項電流源并聯(lián)電導的諾頓等效電路形式，然后根據(jù)節(jié)點位置建立差分方程，并迭代求解。其易于形成節(jié)點方程，能夠保留電路結構信息，速度較快，面對節(jié)點多、復雜度高的大規(guī)模系統(tǒng)，具有一定的優(yōu)勢，但元件的首先離散限制了對數(shù)值積分方法的選取，精度高的方法會造成離散后的差分方程太復雜，精度低的方法會存在數(shù)值不穩(wěn)定的風險，因此以剛性隱式的梯形法為主體的數(shù)值積分法幾乎是節(jié)點分析架構下最好的選擇。對于非線性元件，特別是電力電子裝置，開關動作引起的系統(tǒng)拓撲變化會影響此類算法結構的計算效率。

3.2 步長算法

步長算法按照算法結構的框架，定義了模型中方程的計算方式，對模型求解的保真度和速度影響顯著。隨著電驅(qū)動系統(tǒng)的高頻化，對上述兩個指標將更為敏感。根據(jù)定義步長的方式不同，典型的方法分為基于時間離散和基于事件離散的步長算法。

基于時間離散的步長算法包含定步長與變步長兩類。定步長算法采用固定的時間步進行數(shù)值計算，計算速度與誤差大小由時間步長控制，適用于實時的數(shù)字平臺，但其步長的選取通常面臨速度與精度之間的矛盾。變步長算法由于存在誤差控制機制，步長隨著計算過程的誤差大小而自動調(diào)整，因此其在精度和速度上具有綜合的優(yōu)勢，是離線數(shù)字平臺的常用算法。

基于時間離散的步長算法幾乎在每個時間步的計算過程中都會產(chǎn)生截斷誤差，進而帶來數(shù)值不穩(wěn)定的風險。數(shù)值穩(wěn)定性表征數(shù)值誤差隨時間的衰減特性，在PCU中，一方面由于電力電子開關時刻的不確定，步長間隔會引入誤差；另一方面由開關引起的電感電容等元件的數(shù)值切換，非狀態(tài)量的突變可能引發(fā)數(shù)值振蕩。因此加劇了此類步長算法特別是定步長算法在保真度方面的風險。

為了優(yōu)化基于時間離散步長算法的穩(wěn)定性，針對開關時刻的不確定有小步長積分和開關插值等方法；針對狀態(tài)元件的數(shù)值切換有臨界阻尼等方法。小步長積分法在開關動作的步長內(nèi)改用更小的積分步長，以準確捕獲開關信號，減小數(shù)值誤差，但也會犧牲更多的計算時間。

開關插值法在步長區(qū)間內(nèi)采用線性擬合的方式還原開關時刻，通過插值來求解各個狀態(tài)量至開關動作前的值，在步長較小的情況下簡單有效，在步長較大或精度需求較高的場合，需要優(yōu)化插值的方式，以提高準確性。

臨界阻尼法不從誤差累積源的角度出發(fā)，而是從振蕩抑制的角度，在數(shù)值求解上利用顯隱式積分穩(wěn)定域和收斂性的互補，當發(fā)生誤差擾動時，在間斷點改用兩個半步長的后向歐拉法抑制振蕩。臨界阻尼法會增加算法復雜度，同時帶來切換條件識別不準等額外的風險。

基于事件離散的步長算法主要為離散狀態(tài)事件驅(qū)動法（Discrete-State Event Driven, DSED），其演變于量化狀態(tài)系統(tǒng)（Quantized State Systems, QSS）?；跁r間離散步長算法由于在一定硬件資源限制下存在天然的保真度與速度的矛盾，而對于應用場景復雜、計算規(guī)模大的場合，矛盾越發(fā)明顯。特別是計算規(guī)模增加帶來的收斂性問題，系統(tǒng)中由于存在時間常數(shù)差別很大的解分量，從而造成系統(tǒng)的剛性，在時間步長的求解框架下難以通過有限的迭代趨于真實解，或趨于真實解的速度過慢導致求解失敗。

在電驅(qū)動系統(tǒng)中，由于PCU存在◆s級的電力電子回路和秒級的機械回路，以及電力電子開關本身相差極大的關斷導通阻抗，具有剛性系統(tǒng)的特征。為彌補基于時間離散步長算法的缺陷，DSED將系統(tǒng)求解視角從時間軸轉換為事件狀態(tài)軸，時間離散與事件狀態(tài)離散機理比較如圖21所示，具有變步長的性質(zhì)，因此也僅適合于離線的數(shù)字平臺。

圖21 時間離散與事件狀態(tài)離散機理比較

DSED通過開關事件來自動觸發(fā)計算，可省去繁瑣的事件檢測與迭代計算，從而大大降低計算量，加快計算速度，且收斂風險小，對于大規(guī)模和多時間尺度的數(shù)字化設計具有其獨特的優(yōu)勢，但對于剛性過強的系統(tǒng)，也會面臨效率低下等問題。

3.3 數(shù)值求解

數(shù)值求解方法在已有的算法結構下，結合步長算法對數(shù)學方程進行離散的迭代求解。在狀態(tài)空間的算法結構下，常微分方程的數(shù)值積分求解是計算效率的關鍵；在節(jié)點分析的算法結構下，線性方程組的求解是計算效率的關鍵。在電驅(qū)動系統(tǒng)中，以常微分方程為主、線性方程組為輔，是主要的數(shù)學模型特征，因此其求解方法是整個數(shù)值求解的核心。

常微分方程基于泰勒級數(shù)展開，通過合理截斷級數(shù)的高階項，獲取迭代的差分方程，以完成積分的數(shù)值求解。根據(jù)迭代的方式、級數(shù)保留的階數(shù)、歷史項的步數(shù)，數(shù)值積分有顯/隱性、低/高階、單/多步之分。其中，階數(shù)和步數(shù)會影響積分方法的精度，但顯隱性對保真度的影響更為關鍵。

顯式方法根據(jù)歷史時刻的狀態(tài)值直接更新當前時刻的狀態(tài)值，如前向歐拉等；而隱式方法需要通過迭代間接解出當前時刻的狀態(tài)值，如后向歐拉和梯形積分等。顯式方法簡單直接，收斂風險小，但由于截斷誤差的累積存在穩(wěn)定性的風險，因此步長的選取較為關鍵。

隱式方法采用當前時刻的導數(shù)值，能夠保證誤差的衰減，對數(shù)值振蕩有一定的阻尼抑制作用，因此穩(wěn)定性好，對步長不敏感，但其迭代的次數(shù)不固定，對于實時的應用需要綜合考慮，且可能存在病態(tài)方程等迭代不收斂的風險。為從根本上避免截斷誤差引發(fā)的數(shù)值振蕩，指數(shù)差分法和根匹配法通過構造指數(shù)形式的迭代方程以等效所有的泰勒級數(shù)項，由于增加了復雜度，需進一步討論。

方程組的數(shù)值求解包含直接法與迭代法。直接法通過對矩陣的求逆運算獲取方程組的解，精度高且穩(wěn)定可靠，沒有收斂問題，但運算量大且對硬件的存儲需求高，典型的方法包括以高斯消元法為代表的消元法和以三角分解為代表的矩陣分解法。

迭代法通過給定初值并迭代逼近真實解，避免了效率低下的矩陣求逆運算，計算速度快且存儲量小，但犧牲了計算精度且存在收斂問題，典型的方法包含雅克比迭代、高斯賽德爾迭代、超松弛迭代等。從矩陣本身的特點出發(fā)，利用其稀疏性和對稱性進行數(shù)值加速與等效分割是目前研究的焦點。總之，方程組的數(shù)值求解方法研究較為充分，在此不做贅述。

數(shù)值算法目前圍繞高保真度、高速、低復雜度三大目標，形成了以求解微分方程與線性方程組為核心的較為成熟的數(shù)值解法。然而電驅(qū)動系統(tǒng)作為典型的電力電子系統(tǒng)，其混合了連續(xù)狀態(tài)與離散事件且具備多時間尺度的特征，傳統(tǒng)數(shù)值算法在其上的應用并非為最優(yōu)效率，通常為了補償穩(wěn)定性與收斂性等問題犧牲速度等指標，降低了效率?，F(xiàn)有的方法針對電力電子系統(tǒng)的特征作了一定的優(yōu)化，目前還處于早期應用的階段。從算法結構上設計新的求解架構，并配合步長算法與數(shù)值求解對象的轉換，是數(shù)值算法上仍需進一步研究的內(nèi)容。

4 研究挑戰(zhàn)及展望

電動汽車的高安全性和高可靠性給其核心子部件PCU的設計帶來了功能范圍高覆蓋率和驗證環(huán)節(jié)高效率兩方面的挑戰(zhàn)。數(shù)字化設計靈活高效與低成本，是滿足上述挑戰(zhàn)的有效途徑。然而，受限于硬件資源的計算力、存儲和帶寬，提高數(shù)字化設計在PCU中的應用程度，目前面臨的挑戰(zhàn)歸納如下：

1）數(shù)字平臺的自動集成

數(shù)字平臺在V型設計的分層設計、層次嵌套的流程中起到十分關鍵的效率提升作用，是實現(xiàn)設計驗證自動化的關鍵環(huán)節(jié)。但目前各階段之間的數(shù)字平臺大多彼此獨立，銜接度不高，設計驗證存在低效的重復迭代，缺乏一個綜合的大腦，數(shù)字化的計算資源沒有被充分利用。因此設計銜接集成不同階段數(shù)字平臺的中控系統(tǒng)，面向全局優(yōu)化自動迭代，是未來電驅(qū)動系統(tǒng)乃至電力電子系統(tǒng)數(shù)字化設計的研究挑戰(zhàn)。

2）數(shù)學建模的速度提升

碳化硅等高頻器件的應用，將PCU軟件數(shù)字化設計推向了微秒級別以下的時間尺度，加之實時、在線的應用本身對速度的約束十分嚴格，進而對計算速度提出了更高的要求。隨著時間尺度變小，對頻率最為敏感的開關元件，其模型保真度與速度間的矛盾將逐漸加深，亟需進一步的創(chuàng)新。因此探索從數(shù)字平臺的硬件升級、數(shù)學建模的等效分割到數(shù)值算法的并行加速三個維度的綜合優(yōu)化方法，是未來數(shù)字化設計的重要方向。

3）數(shù)值算法的求解創(chuàng)新

電驅(qū)動系統(tǒng)混合了連續(xù)狀態(tài)與離散事件，加之其高頻化趨勢的不斷加深，使其時間尺度的跨度逐漸加大，剛性問題愈發(fā)嚴重，數(shù)學特征的變化使傳統(tǒng)數(shù)值算法的匹配應用效率有限。因此從算法結構上設計新的求解架構，并配合步長算法與數(shù)值求解的優(yōu)化，是數(shù)值算法在電驅(qū)動應用場景下仍需進一步研究的內(nèi)容。

4）數(shù)值穩(wěn)定的綜合優(yōu)化

隨著電動汽車體量的不斷增長，電驅(qū)系統(tǒng)軟件設計的方案各異，加之電動汽車復雜運行場景下狀態(tài)機的頻繁切換，勢必對數(shù)值穩(wěn)定性的范圍和兼容性提出了更高的要求。因此，需要系統(tǒng)性地構建能反映數(shù)值穩(wěn)定的綜合判定方法及其優(yōu)化方法，擴大數(shù)字化設計的數(shù)值穩(wěn)定域。

實現(xiàn)電動汽車功率控制器乃至電力電子裝置的數(shù)字化設計，需要分步完成數(shù)字平臺的自主研發(fā)、中控系統(tǒng)的銜接集成、自動迭代的智能系統(tǒng)。當前，面對國內(nèi)外技術進程的差距與技術封鎖的國際形勢，數(shù)字平臺的自主研發(fā)是數(shù)字化設計的基礎與核心，也是抓住工業(yè)國產(chǎn)化趨勢與機遇的關鍵。S-HIL作為數(shù)字平臺構建數(shù)字工具鏈的重要一環(huán)，是自主研發(fā)的難點，以S-HIL作為切入點，探索制約數(shù)字平臺的共性技術問題是發(fā)展數(shù)字化設計的基礎。

圖22 信號硬件在環(huán)系統(tǒng)架構

以S-HIL為例，系統(tǒng)包含物理側的實際控制器與數(shù)字側的HIL以及觀測設備。HIL包含上位機、數(shù)字平臺和轉接電路，如圖22所示。其中數(shù)字平臺的硬件環(huán)境采用CPU+FPGA的結構，分別通過兩塊集成板卡經(jīng)PXIe的背板總線連接。

在數(shù)學建模上，首先將多時間尺度的電驅(qū)動系統(tǒng)進行解耦粗分割，秒級時間尺度的機械模型在CPU中完成，微秒級的電力電子模型在FPGA中完成，以此降低系統(tǒng)的剛性；其次在采樣和模型上根據(jù)計算特征和資源匹配做進一步的協(xié)同優(yōu)化，利用CPU多核與FPGA并行運算的特點，將模型細分為適合并行及流水線運算的模型，以匹配高頻化的小步長運算，并同時優(yōu)化小步長瓶頸的開關模型，提高保真度。

在數(shù)值算法上，完成模型解算的同時，通過并行等效、串行計算向量化以及串行同步轉異步并行等方式對數(shù)值求解進行加速，并利用數(shù)字側的高自由度與靈活性，優(yōu)化數(shù)值增長因子和奈奎斯特穩(wěn)定，提高數(shù)值穩(wěn)定域。

隨著未來計算能力和數(shù)據(jù)能力的提升，數(shù)字化設計將會具有更進一步的應用前景。計算能力的提升使得數(shù)字化設計不會僅僅局限在對實際系統(tǒng)的輔助設計驗證，同時擴大數(shù)字平臺的范圍至車輛在環(huán)（vehicle in the loop）甚至人在回路（human in the loop），利用數(shù)字系統(tǒng)與實際系統(tǒng)的實時聯(lián)動，提升對物理系統(tǒng)的認知、診斷和預測。數(shù)據(jù)能力的提升將能應對汽車層面的復雜性和不確定性，提升系統(tǒng)的智能化水平，為電動汽車的發(fā)展帶來更深刻的影響。

5 結論

電動汽車的高安全性和高可靠性給PCU的設計驗證帶來了功能范圍高覆蓋率和驗證環(huán)節(jié)高效率的挑戰(zhàn)。數(shù)字化設計利用其靈活、高效、智能的特點，通過合理變換PCU控制系統(tǒng)與被控對象的數(shù)字化方式，以覆蓋PCU軟件從控制算法到功率單元全研發(fā)周期的寬范圍設計驗證需求；通過數(shù)學建模和數(shù)值算法的優(yōu)化，提升數(shù)字化設計的速度和保真度，滿足PCU每個設計驗證環(huán)節(jié)的高效率。

本文以電動汽車PCU軟件數(shù)字化設計為切入點，圍繞其高覆蓋率和高效率的設計驗證需求，從數(shù)字平臺、數(shù)學建模、數(shù)值算法三方面系統(tǒng)性地梳理了數(shù)字化設計的研究進展：整理歸納了PCU設計驗證的數(shù)字平臺構造方法；論述總結了提升計算速度和保真度等影響設計驗證效率的建模方法和數(shù)值算法。

通過歸納總結表明，隨著數(shù)字平臺的硬件朝著并行化、分布式方向的發(fā)展，數(shù)字化設計呈現(xiàn)從離線到實時到在線的趨勢，以滿足PCU設計驗證需求高覆蓋率的同時，實現(xiàn)高性能控制；由于高頻化趨勢的日益加深，計算時間尺度變小變寬，圍繞速度與保真度的優(yōu)化，數(shù)學建模特別是開關模型亟待根據(jù)計算特征和資源匹配作進一步的協(xié)同優(yōu)化，數(shù)值算法在處理數(shù)值穩(wěn)定和剛性問題上有待進一步探索。最后展望了PCU數(shù)字化設計未來的發(fā)展趨勢，希望本文的工作能為同行們的后續(xù)研究提供參考。

本文編自2021年第24期《電工技術學報》，論文標題為“電動汽車功率控制單元軟件數(shù)字化設計研究綜述及展望”，作者為何紹民、楊歡 等。